自由度


綜述
  “自由度”(degrees of freedom, df)是在統計學,物理學,工程機械中的基本知識,通常用於抽樣分布中。而電子遊戲中也有自由度這個概念。一、統計學計量經濟
  統計學上的自由度是指當以樣本的計量來估計總體的參數時, 樣本中獨立或能自由變化的資料的個數,稱爲該計量的自由度。 統計學上的自由度包括兩方面的內容:
  首先,在估計總體的平均數時,由於樣本中的 n 個數都是相互獨立的,從其中抽出任何一個數都不影響其他數據,所以其自由度爲n。
  在估計總體的方差時,使用的是離差平方和。只要n-1個數的離差平方和確定了,方差也就確定了;因爲在均值確定後,如果知道了其中n-1個數的值,第n個數的值也就確定了。這裏,均值就相當於一個限制條件,由於加了這個限制條件,估計總體方差的自由度爲n-1。
  例如,有一個有4個數據(n=4)的樣本, 其平均值m等於5,即受到m=5的條件限制, 在自由確定4、2、5三個數據後, 第四個數據只能是9, 否則m≠5。因而這裏的自由度υ=n-1=4-1=3。推而廣之,任何計量的自由度υ=n-限制條件的個數。
  其次,統計模型的自由度等於可自由取值的自變量的個數。如在回歸方程中,如果共有p個參數需要估計,則其中包括了p-1個自變量(與截距對應的自變量是常量1)。因此該回歸方程的自由度爲p-1。二、物理學
  完全確定一個物體在空間位置所需要的獨立坐標的數目,叫做這個物體的自由度。力學系統由一組坐標來描述。
  據熱力學中的能量均分定理,每個自由度的能量相等(當然沒考慮量子效應啦),都爲Tk/2(振動包括動能和勢能,所以振動能量爲(Tk/2)*2),單原子分子僅有3個平動自由度,所以爲3Tk/2,非剛性雙原子分子有3個平動自由度,2個轉動自由度,1個振動自由度,所以爲(3+2+1*2)Tk/2,非剛性三原子分子有3個平動自由度,3個轉動自由度,3個振動自由度所以爲(3+3+3*2)Tk/2,剛性分子不用考慮振動,一般非剛性分子有3*n個自由度,3個平動自由度,3個轉動自由度,(n爲原子個數,n>2),所以有n-6個振動自由度。不能說每個分子的能量都是iTk/2,這是統計規律。

質點自由度

  (1)一個質點在空間任意運動,需用三個獨立坐標(x,y,z)確定其位置。所以自由質點有三個平動自由度 i = 3。 
  (2)如果對質點的運動加以限制(約束),自由度將減少。如質點被限制在平面或曲面上運動,則 i= 2;如果質點被限制在直线或平面曲线(不是空間曲线)上運動,則其自由度 i = 1。

剛體自由度

  一個剛體在空間任意運動時,可分解爲質心 O’ 的平動和繞通過質心軸的轉動,它既有平動自由度還有轉動自由度。確定剛體質心O’的位置,需三個獨立坐標(x,y,z)—自由剛體有三個平動自由度 t = 3;
  確定剛體通過質心軸的空間方位──三個方位角(α,β,γ)中只有其中兩個是獨立的──需兩個轉動自由度;另外還要確定剛體繞通過質心軸轉過的角度θ──還需一個轉動自由度。這樣,確定剛體繞通過質心軸的轉動,共有三個轉動自由度 r = 3。所以,一個任意運動的剛體,總共有6個自由度,即3個平動自由度和3個轉動自由度,即i = t + r = 3 + 3 = 6

分子自由度

  自由度是物體運動方程中可以寫成的獨立坐標數,單原子分子有3個自由度,雙原子,三原子不考慮震動相當於剛體,分別有5個(3平2轉)、6個自由度(3平3轉),考慮震動後,雙原子加1個,三原子加2個,振動自由度在經典範圍下是你那么算,根據能量均分定理得到。但是考慮量子效應,需要用波色統計或費米統計,這個就復雜了,常溫下一般不考慮量子效應,用經典的就行了。
  (1)單原子分子:如氦He、氖Ne、氬Ar等分子只有一個原子,可看成自由質點,所以有3個平動自由度 i = t = 3。 
  (2)剛性雙原子分子如氫 、氧 、氮 、一氧化碳CO等分子,兩個原子間聯线距離保持不變。就像兩個質點之間由一根質量不計的剛性細杆相連着(如同啞鈴),確定其質心O’的空間位置,需3個獨立坐標(x,y,z);確定質點聯线的空間方位,需兩個獨立坐標(如α,β),而兩質點繞聯线的的轉動沒有意義。所以剛性雙原子分子既有3個平動自由度,又有2個轉動自由度,總共有5個自由度 i = t + r =3 + 2 = 5。 
  (3)剛性三原子或多原子分子: 如CO2 ,H2O 、氨 等,只要各原子不是直线排列的,就可以看成自由剛體,共有6個自由度,i = t + r = 3 + 3 = 6。
  (4) 對於非剛性分子,由於在原子之間相互作用力的支配下,分子內部還有原子的振動,因此還應考慮振動自由度(以S 表示)。如非剛性雙原子分子,好像兩原子之間有一質量不計的細彈簧相連接,則振動自由度 S = 1。
  一般在常溫下,氣體分子都近似看成是剛性分子,振動自由度可以不考慮。
  力學系統由一組坐標來描述。比如一個質點的三維空間中的運動,在笛卡爾坐標系中,由x,y,z三個坐標來描述;或者在球坐標系中,由r,θ,φ三個坐標描述。描述系統的坐標可以自由的選取,但獨立坐標的個數總是一定的,即系統的自由度。一般的,N個質點組成的力學系統由3N個坐標來描述。但力學系統中常常存在着各種約束,使得這3N個坐標並不都是獨立的。對於N個質點組成的力學系統,若存在m個約束,則系統的自由度爲S = 3N − m三、工程機械

機構自由度

  根據機械原理,機構具有確定運動時所必須給定的獨立運動參數的數目(亦即爲了使機構的位置得以確定,必須給定的獨立的廣義坐標的數目),稱爲機構自由度(degree of freedom of mechanism),其數目常以F表示。如果一個構件組合體的自由度F>0,他就可以成爲一個機構,即表明各構件間可有相對運動;如果F=0,則它將是一個結構(structure),即已退化爲一個構件。機構自由度又有平面機構自由度和空間機構自由度。

平面機構自由度:

  一個杆件(鋼體)在平面可以由其上任一點A的坐標x和y,以及通過A點的直线AB與橫坐標軸的夾角等3個參數來決定,因此杆件具有3個自由度。

空間機構自由度:

  一個杆件(鋼體),在空間上完全沒有約束,那么它可以在3個正交方向上平動,還可以有三個正交方向的轉動,那么就有6個自由度。

自由度的計算:

  約束增加,自由度就減少,機構的自由度爲組成杆件自由度之和減去運動副的約束。四、電子遊戲
  在當今時代的電子遊戲中,也有自由度這個概念,在高自由度的遊戲中,玩家可以不必一定要按照規定的路线進行。
  角色扮演遊戲是自由度最高的電子遊戲,玩家操作人物在地圖中可以向各個方向前進、做事,受到的拘束很少。

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