集中量數


概述
  描述所搜集到的資料裏各分數之集中情形的最佳代表值,也是描述一個團體中心位置的一個數值。
  集中量數有多種,包括算術平均數、中數、衆數、加權平均數、幾何平均數、調和平均數等。
  教育學:一組數據中大量數據集中在某一點或其上下的情況說明了該組數據的集中趨勢,描述集中趨勢計量數叫做集中量數。算數平均數

概述

  算術平均數是全部數據的算術平均,又稱均值,符號爲M(Mean)。算術平均數集中趨勢作主要的測度值,在統計學中具有重要地位,使進行統計分析統計推斷的基礎。它主要適用於數值型數據,但不適用品質數據。根據表現形式的不同,算術平均數有不同的計算形勢和計算公式。其中,算術平均數加權平均數的一種特殊形式(它特殊在各項的全相等),當實際問題中,當各項權不相等時,計算平均數時就要採用加權平均數,當各項權相等時,計算平均數就要採用算數平均數。兩者不可混淆。

簡單算術平均數

  簡單算術平均數主要用於未分組的原始數據。設一組數據爲X1,X2,...,Xn,簡單的算術平均數的計算公式爲:
  M=(X1+X2+...+Xn)/n
  例如,某銷售小組有5名銷售員,元旦一天的銷售額分別爲520元、600元、480元、750元和500元,求該日平均銷售額。
  平均銷售額=(520+600+480+750+500)/5=570(元)
  計算結果表明,元旦一天5名銷售員的平均營業額爲570元。
  拓展:一組數據X1,x2...Xn在數a上下波動,則,原數據分別減掉a,得到一組新數據
  X1'=X1-a X2'=X2-a .......Xn'=Xn-a
  所以X1=X1'+a X2=X2'+a........Xn=Xn'+a
  所以:平均數=(X1+X2+....+Xn)/n
  將上面的 X1'=X1-a X2'=X2-a .......Xn'=Xn-a 代入
  得到了:(X1'+X2'+....+Xn')/n+a
  即=x'拔+a
  所以:x拔=x'拔+a

優缺點

  算數平均數具備了良好集中量數應具備的一些條件:
  1、集中量數
  2、反應靈敏
  3、確定嚴密
  4、簡明易解
  5、計算簡單
  6、適合進一步演算
  7、較小受抽樣變化的影響等優點。
  同時也存在一定的缺點,限制了它的使用:
  1、算術平均數易受極端數據的影響,這是因爲平均數反應靈敏,每個數據的或大或小的變化都會影響到最終結果。
  2、若出現模糊不清的數據時,無法計算平均數

應用原則

  1、同質性數據
  2、平均數與個體數值相結合考慮
  3、平均數於方差、標準差相結合考慮中數

概述

  中數(Median),又名中位數。 對一組數進行排序後,正中間的一個數(數字個數爲奇數);或者中間兩個數的平均數(數字個數爲偶數)。
  中數是按順序排列在一起的一組數據中居於中間位置的數,即在這組數據中,有一半的數據比它大,有一半的數據比它小。這個數可能是數據中的某一個,也可能根本不是原有的數。

優點

  1、計算簡單
  2、容易理解
  3、不受極端值影響

缺點

  1、反應不夠靈敏
  2、 受抽樣影響較大
  3、中數乘以總次數於總數不想等
  4、不能進一步代數運算

應用情況

  1、需要快速估算集中值時
  2、有極端數據時
  3、有模糊不清楚的數據時衆數

概述

  衆數(Mode),一組數據中出現次數最多的數值,叫衆數,用M表示。

計算衆數的方法

  (一)、根據單項數列求衆數,不需要任何計算,可以直接從分配數列中找出出現次數或頻率最大的一組標志值,就是所求的衆數。
  (二)、對組距數列求衆數。對衆數的計算有兩種公式:
  1、上限公式:
  

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2、下限公式
  

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其中:
  f表示衆數所在組次數;
  f-1表示衆數所在組前一組的次數;
  f+1表示衆數所在組後一組的次數;
  L表示衆數所在組組距的下限;
  U表示衆數所在組組距的上限;
  i表示組距;

優點

  1、簡單命了
  2、容易理解

缺點

  1、不穩定,受分組和樣本變動影響
  2、反應不靈敏
  3、不能進一步做代數運算

應用

  1、需要快速估算一組數據集中值時。
  2、數據不同質
  3、兩極端有極端值時
  4、快速估計分布形體時

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